Прямая линия, касательная к какой-либо кривой линии, принадлежащей поверхности, является касательной и к поверхности. Через любую точку поверхности можно провести множество кривых, а, следовательно, и множество касательных прямых. В дифференциальной геометрии доказывается, что все эти касательные прямые располагаются в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке (рис. 8.1, a).

Рис.8.1

Таким образом, касательная плоскость к поверхности есть множество всех касательных, проведенных к поверхности через одну и ту же точку. Положение плоскости в пространстве определяется двумя пересекающимися прямыми, поэтому для построения касательной плоскости к поверхности в заданной точке достаточно построить касательные к двум кривым линиям, проходящим через эту точку. В качестве таких кривых выбирают наиболее простые линии поверхности. Если данная поверхность является линейчатой, то за одну из таких кривых целесообразно взять прямолинейную образующую (касательная к прямой линии есть сама прямая).

Рис.8.2Рис.8.3

Перпендикуляр, восставленный к касательной плоскости в точке ее касания с поверхностью, называется нормалью к поверхности. Касательная плоскость может иметь с поверхностью одну общую точку и располагаться по одну сторону от нее. Такие точки поверхности называются эллиптическими (рис. 8.5, а). Примерами поверхностей, все точки которых эллиптические, являются сфера, эллипсоид вращения и др.

Рис.8.4

Касательная плоскость к поверхности в некоторой ее точке может пересекать поверхность (рис. 8.5) по прямым или кривым линиям. Такие точки поверхности называются гиперболическими. Примерами поверхностей, имеющих гиперболические точки, могут служить однополостный гиперболоид, тор и др.
Касательная плоскость может иметь с поверхностью общую линию - прямую или кривую (рис. 8.1, в). Точки кривой поверхности, принадлежащие линии касания, называются параболическими .

Рис.8.5