Начертательная геометрия Практикум по решению задач Система конструкторской документации Каталог графических примеров Информатика

КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.

Общие понятия и определения.

Кривые поверхности широко применяются в различных областях науки и техники при создании очертаний различных технических форм или как объекты инженерных исследований. Существуют три способа задания кривых поверхностей:

  1. Аналитический - при помощи уравнений;
  2. При помощи каркаса;
  3. Кинематический, т. е. перемещением линий в пространстве.
Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает кривую поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению. На рис. 2.3.12.1 приведен пример поверхности, заданной аналитически (системой алгебраических уравнений).

analit.JPGРис. 2.3.12.1

При каркасном способе задания кривая поверхность задается совокупностью некоторого количества линий, принадлежащих поверхности. В качестве линий, образующих каркас, как правило, берут семейство линий, получающихся при пересечении поверхности рядом параллельных плоскостей. Этот способ применяется при проектировании кузовов автомобилей, в самолето- и судостроении, в топографии и т. п.
Начертательная геометрия изучает кинематические способы образования и задания кривых поверхностей. При этом каждая кривая поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений образующей линии l, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Образующая линия при своем движении может оставаться неизменной, а может и менять свою форму. Такой способ образования поверхности называется кинематическим, а сама поверхность - кинематической.


Закон перемещения образующей линии, как правило, задается при помощи направляющих линий и алгоритма перемещения образующей по направляющим.
На чертеже кинематическая кривая поверхность задается при помощи ее определителя. Определителем поверхности называют совокупность условий, необходимых и достаточных для задания поверхности в пространстве.
Для того чтобы построить чертеж поверхности, необходимо предварительно выявить ее определитель. Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или ее основных свойств. В общем случае поверхность может быть образована несколькими способами и поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший. Определитель поверхности состоит из двух частей:

  1. Геометрической части - совокупности геометрических фигур, с помощью которых можно образовать поверхность.
  2. Алгоритмической части - алгоритма формирования поверхности при помощи фигур, входящих в геометрическую часть определителя.
Поверхность на чертеже задают проекциями геометрической части ее определителя. Определитель кривой поверхности Ф может быть записан в символической форме: Ф(Г)[А], где (Г) - геометрическая часть, [А] - алгоритмическая часть. Для каждой поверхности обе части определителя имеют вполне конкретное содержание.
Поверхность считается заданной на комплексном чертеже, если относительно любой точки пространства, заданной на чертеже, можно однозначно решить вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Построение проекций любых точек и линий, принадлежащих поверхности, а также второй их проекции, если одна задана, выполняется на основании ее определителя. Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, принадлежащей поверхности.
Рассмотрим примеры выявления определителя для некоторых простейших поверхностей:
  1. Через три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость ( на рис. 2.3.13, а). Точки А, В и С составляют геометрическую часть определителя плоскости.
    pr3_13.JPGРис.2.3.13

    Вторая часть определителя, т. е. алгоритм построения в плоскости (А, В, С) любых линий и точек, выражается рассмотренными ранее условиями принадлежности прямой и точки плоскости. На чертеже (рис. 2.3.13, б) плоскость задана проекциями геометрической части своего определителя: А(А1А2), В(В1В2), С(С1С2).

  2. Цилиндрическая поверхность вращения может быть образована вращением прямой l i вокруг оси i (рис. 2.3.14, а).
    Геометрическая часть определителя поверхности состоит из образующей l и оси i. Алгоритмическая часть определителя состоит из операции вращения образующей линии l вокруг оси i.
    pr3_14.JPGРис.2.3.14

    Определитель цилиндрической поверхности вращения имеет вид Ф(l i, i) [А]. На чертеже (рис. 2.З.14, б) цилиндр вращения задан проекциями геометрической части своего определителя.

  3. Коническая поверхность вращения может быть образована вращением прямой l, пересекающей ось вращения i под некоторым углом (рис. 2.3.15, а). Алгоритмическая часть определителя состоит из словесного указания о том, что поверхность образуется вращением образующей l вокруг оси i. Определитель конической поверхности вращения имеет вид Ф( l i )[A].
    pr3_15.JPGРис. 2.3.15

    На чертеже (рис. 2.3.15 cправа) конус вращения задан проекциями геометрической части его определителя:

    l(l1l2) i(i1i2}
В указанных примерах определитель поверхности выявляется путем анализа способов ее образования.
Рассмотрим пример выявления определителя поверхности путем анализа ее основных свойств. Возьмем, например, сферу. Сферой называется поверхность, образованная множеством точек пространства, находящихся на расстоянии | r | от данной точки O (рис. 2.3.16).
pr3_16.JPG Рис 2.3.16

Геометрическая часть определителя сферы состоит из точки O (центра сферы) и точки М, принадлежащей ее поверхности. Алгоритм построения любой точки сферы заключается в проведении через точку О произвольной прямой и откладывания на ней от точки О отрезка | OM' = | ОМ | = | r |. Определитель сферы имеет вид
Ф(О, М) [А].
На рис. 2.3.16 (справа) сфера задана проекциями точек О(O1O2) и М(М1М2), которые составляют геометрическую часть ее определителя, и показано построение произвольной точки Мnn1 Мn2)сферы. При чтении чертежа немаловажную роль играет его наглядность. Задание поверхности проекциями геометрической части ее определителя не обеспечивает наглядности изображений. Поэтому для придания чертежу поверхности большей наглядности и выразительности прибегают к построению очерков ее проекций или проекций достаточно плотного каркаса ее образующих (в случаях, когда проекции поверхности не имеют определенного очерка) на основании алгоритмической части ее определителя.
pr3_17.JPG Рис. 2.3.17

При проецировании поверхности на какую-либо плоскость проекций часть проецирующих лучей касается ее, образуя проецирующую поверхность. Точки касания при этом образуют линию видимого контура поверхности относительно этой плоскости проекций (рис. 2.3.17). Очерк проекции поверхности является проекцией соответствующей линии видимого контура.
Линия видимого контура поверхности разделяет ее на две части - видимую, обращенную к наблюдателю, и невидимую. Никакая точка поверхности не может спроецироваться за пределы очерка.
На чертежах (рис. 2.3.18, а, в) конус вращения и сфера заданы проекциями геометрической части своего определителя, а на чертежах (рис. 2.3.18, б, г) для тех же поверхностей построены очерки их проекций. Последние, безусловно, обладают большей наглядностью и выразительностью.
pr3_18.JPG Рис. 2.3.18

Кривые поверхности разделяются на линейчатые и нелинейчатые, закономерные и незакономерные. Поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии, в противном случае - нелинейчатой.
Если поверхность может быть задана каким-либо уравнением, она называется закономерной, в противном случае - незакономерной, или графической (задается только чертежом).
Закономерные поверхности, в зависимости от вида уравнения, разделяются на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическое уравнение n-й степени (в декартовых координатах) задает алгебраическую поверхность n-го порядка (трансцендентные поверхности порядка не имеют). Алгебраическая поверхность n-го порядка пересекается плоскостью по кривой n-го порядка, а с прямой линией - в n точках. Плоскость, имеющую уравнение первой степени (с произвольной плоскостью пересекается по прямой линии, а с прямой - в одной точке), можно рассматривать как поверхность первого порядка. Примерами кривых поверхностей второго порядка могут служить поверхности, образованные вращением кривых второго порядка вокруг одной из своих осей. Поверхности второго порядка пересекаются с произвольной плоскостью по кривым второго порядка, а с прямой - в двух точках. Примером поверхности четвертого порядка может служить тор (см. поверхности вращения). Определитель может быть положен в основу классификации поверхностей. К одному и тому же классу относятся поверхности, имеющие одинаковую структуру определителя.
Наибольшее применение в технике получили кинематические кривые поверхности с образующими постоянной формы:
1. Линейчатые поверхности:

    а) развертывающиеся;
    б) неразвертывающиеся;
    в) винтовые.
2. Поверхности вращения.
[назад]     [предыдущий подраздел] [следующий подраздел]

Основы Инженерная графика, черчение, начертательная геометрия