Деформации и перемещения при кручении валов Расчет цилиндрических витых пружин Инженерная графика Начертательная геометрия

Потенциальная энергия деформации

Механические характеристики материалов Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали и характеристики ее участков.

Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям. Чтобы конструкция была работоспособна необходимо, чтобы максимальные напряжения в ней не превышали определенной величины, характерной для данного материала и условиями работы

Моменты инерции

Дифференциальные зависимости при изгибе При изгибе справедливы следующие дифференциальные зависимости при изгибе.  

Касательные напряжения при изгибе Рассмотрим прямой поперечный изгиб. При этом нормальные напряжения с небольшой погрешностью определяются по формулам (2) и (3), а от действия поперечных сил  в ПС появляются касательные напряжения, определяемые по формуле Жуковского  (4)

Понятие об устойчивости Известно, что равновесие АТТ может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным. Пример: равновесие шарика на гладкой вогнутой, выпуклой поверхности и на плоскости. Аналогичные явления наблюдаются и для деформируемых тонкостенных конструкций. Пример с сжатой линейкой: если сила меньше некоторого критического значения, линейка устойчива,  неустойчива,  безразличное равновесие.

Формула Ясинского Когда формула Эйлера неприменима (за приделом упругости) для определения критической силы можно воспользоваться эмпирической формулой Ясинского П.Ф.

Изгиб с кручением Это такой случай нагружения, когда в ПС возникают изгибающие и крутящий моменты. Такое нагружение характерно для валов. Особенностью изгиба с кручением является необходимость применения одной из теории прочности для проведения расчетов на прочность.

Стальной параллелепипед (Е = 2.0×105 МПа, n = 0.3), помещенный между абсолютно жесткими плитами, сжимается силой N = 250 кН. Определить давление на плиты, если а = 50 мм, b = 100 мм.

Квадратная стальная пластинка (Е = 2.0×105 МПа, n = 0.25), размерами 200´200 мм нагружена по торцам напряжениями s1 = 200 МПа и s2 = 200 МПа. Определить изменения длин сторон квадрата, его площади и объема пластинки при ее упругой деформации. Трением пренебречь.

Между абсолютно жесткими плитами плотно вставлен стальной стержень (Е = 2.0×105 МПа, n ) прямоугольного сечения a´b = 40´20 мм длиной l = 60 мм. Вычислить коэффициент Пуассона n и укорочение Dl стержня, зная, что под нагрузкой N = 100 кН давление стержня на плиты р = 40 МПа. Трением пренебречь

Вычислить упругую объемную деформацию бетонного куба ABCD (Е = 2.0×104 МПа, n = 0.17) с длиной ребра а = 100 мм, сжимаемого с помощью шарнирного механизма усилиями, равномерно распределенными по четырем граням, при условии, что Р = 500 кН.

Главные напряжения, действующие в стальной полосе (Е = 2.0×105 МПа, n = 0.25) размерами 300´100´10 мм, равны: s1 = 120 МПа,
s2 = 60 МПа. Вычислить изменения всех размеров полосы и ее объема при упругой деформации.

Как меняются размеры и объем стальной пластины a´b´c = 200´100´5 мм (Е = 2.0×105 МПа, n = 0.3) при ее упругой деформации под действием главных напряжений s1 = 100 МПа, s2 = 50 МПа?

Резиновый стержень (Е = 100 МПа, n = 0.45) квадратного сечения a´а = 10´10 мм длиной 50 мм вставлен без зазора между двумя стальными плитами. Как изменятся его размеры и объем и какое давление он будет оказывать на плиты при упругой деформации под действием силы N = 0.2 кН?

Медный кубик (Е = 1.1×105 МПа, n = 0.35) с ребром а = 100 мм вложен без зазоров в гнездо стальной плиты, деформациями которой можно пренебречь. Вычислить деформации сторон кубика и проверить его прочность.

Стальной кубик (Е = 2.0×105 МПа, n = 0.25) с ребром а = 50 мм и медный (Е = 1.0×105 МПа, n = 0.36) с ребром 2а поочередно сжимаются на прессе. Определить величину соотношения между сжимающими их усилиями N1 и N2, вызывающими одинаковые упругие укорочения.

Доказать, что если на некоторой площадке в окрестности точки М при плоском напряженном состоянии нормальные напряжения sa экстремальны, то касательные ta обращаются в нуль.

Доказать, что если на некоторых площадках в окрестности точки М касательные напряжения обращаются в нуль (ta = 0), то действующие на них нормальные напряжения sa экстремальны.

В растянутом стержне в одном из наклонных сечений возникли напряжения sa = 80 МПа и ta = 60 МПа. Определить положение этой площадки, а также действующие в стержне максимальные нормальные и касательные напряжения.

В стальном растягиваемом стержне (Е = 2.0×105 МПа, n = 0.25, sТ = 200 МПа) в наклонном сечении (a = 30°) действует нормальное напряжение sa = 100 МПа. Определить действующие в стержне максимальные нормальные и касательные напряжения и оценить его прочность.

Рассчитать на прочность по III-ей теории прочности стальной растягиваемый стержень (Е = 2.0×105 МПа, n = 0.25, sТ = 200 МПа), зная, что в некотором наклонном сечении (a = 60°) возникли напряжения sa = 80 МПа.

Расчет цилиндрических витых пружин

Этот расчет проводится по формулам теории кручения, так как в поперечном сечении проволоки возникает крутящий момент и поперечная сила. Касательные напряжения от кручения на много больше, чем от сдвига и равны

где  осевая сила на пружине;

 диаметр пружины;

 диаметр проволоки, из которой изготовлена пружина.

Осадка пружины определяется по формуле

где  модуль сдвига; 

  число витков.

Условие прочности и жесткости

.

При проектном расчете из условия прочности определяют диаметр проволоки, а из условия жесткости – число витков.

Рекомендуемая литература для СРС: [1], глава 2; [8], глава 4, §6.1-6.5.

Сложное сопротивление

План лекции

1. Косой изгиб. Напряжение при косом изгибе.

2. Нейтральная линия и опасная точка. Условие прочности.

3. Перемещение при косом изгибе.

4. Изгиб с кручением. Определение опасного сечения.

5. Опасная точка. Условие прочности по третьей и четвертой теории. Расчетный момент.

Краткое содержание лекции

Сложным сопротивлением называется такой вид нагружения, когда в ПС бруса одновременно возникают несколько силовых факторов.

Косой изгиб

 При косом изгибе след плоскости изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей инерции ПС. Косой изгиб удобнее рассматривать как одновременный изгиб в двух главных плоскостях инерции:  (горизонтальная) и (вертикальная).

Для определения изгибающих моментов  и  в общем случае надо предварительно разложить нагрузки по главным осям сечения. Далее строится эпюра моментов от сил в вертикальной плоскости () и от сил в горизонтальной плоскости (). Суммарный момент определяется так:

  (1)

След плоскости суммарного момента в ПС называется силовой линией. Ее положение определяется по формуле

  (2)

где  угол наклона силовой лини к оси .

Здесь ,  надо брать со своими знаками: они положительные, если растягивают первую четверть (находятся под осью).

Нормальные напряжения в точке с координатами  определяются суммой напряжений от моментов  и :

 (3)

где  координаты точки в ПС, где определяется напряжение; ,  моменты в том сечении, где определяется напряжение;  главные моменты инерции сечения.

Приравняв напряжение к нулю, найдем уравнение нейтральной лини:

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат и его можно задать углом наклона НЛ к оси :

  (4)

Из (2) и (4) видно, что в общем случае силовая и нейтральная линия при косом изгибе не перпендикулярны.

Так как эпюра напряжений в ПС линейна, то максимальное напряжение возникает в точке наиболее удаленной от нейтральной линии. Пусть координаты этой точки . Тогда из (3)

  (5)

Для прямоугольного сечения

   (51)

Для расчетов на прочность по эпюрам  и  надо найти опасные сечения. Таковым является сечение, где  и   достигают максимальных значений. Если такой ситуации нет, то намечают несколько вероятно опасных сечений. Условие прочности записывается для опасной точки опасного сечения:

  (6)

где  и  моменты в опасном сечении.

Перемещения при косом изгибе также удобно рассматривать как одновременное перемещение вдоль главных осей инерции. Если эти перемещения определены (например, методом начальных параметров) и обозначены , то полное перемещение  и его направление определяется по формулам

    (7)


Лекции по сопромату