Числовой ряд Типовые задачи Функциональные ряды

Курсовой расчет по математике решение задач

Числовые рыды в действительной области (сокр. в )

Пусть  – числовая последовательность, для  . Тогда символ , обозначающий последовательное суммирование членов числовой последовательности , называется числовым рядом.

Проблематика:

1) существует ли конечное значение результата проводимой операции – последовательного суммирования всех членов последовательности?

2) если существует такое конечное значение, то чему оно равно, как найти его точно или приближенно?

Для ответа на поставленные вопросы вводятся следующие понятия.

Сумма первых  членов ряда  называется -й частичной суммой и обозначается ; последовательность   – последовательность частичных сумм.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует : , т.е. сходится последовательность , то ряд  называется сходящимся, число  – его сумма. В противном случае ряд называется расходящимся, его последовательность частичных сумм  либо не имеет конечного предела, либо бесконечно большая.

ПРИМЕР 1. , как сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии рассматриваемый ряд сходится.

ПРИМЕР 2. Для ряда  имеем  поэтому не существует конечного предела последовательности  и соответствующий ряд расходится.

ПРИМЕР 3. Для ряда  имеем  или ; ряд расходится.

Таким образом, поведение числового ряда определяется поведением соответствующей последовательности его частичных сумм. Поэтому результаты изучения числовых последовательностей могут быть перенесены на числовые ряды. Но при этом для ряда, как правило, сходимость ряда и значение его суммы приходится изучать раздельно.

КРИТЕРИЙ КОШИ (для последовательности):

,  ( – сходится)(,

)

можно перефразировать, заменив .

Пример 4:

Рассмотрим  уравнение   интегрируя, получаем: x2 + y2 = C = R2 (рис.4)

– множество окружностей с центром в начале координат

рис.4

Определение: Общее решение – множество решений дифференциального уравнения есть совокупность функций F(x, y, C)=0, CÎÂ.

Определение: Частное решение получают при подстановке конкретного значения константы в общее решение

Особые решения не входят в общие решения  через каждую точку особого решения проходит более одной интегральной кривой.

Критерий Коши (для числового ряда)

Ряды с положительными слагаемыми Заметим сразу, что если ряд состоит только из отрицательных слагаемых, то можно перейти к ряду из соответствующих положительных слагаемых (свойство 4, ).

Теорема необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда – через "ограниченность" частичных сумм ; .

Тоерема признак Д'Аламбера

Знакопеременные ряды Ряд, имеющий бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов, называется знакопеременным.

Определение абсолютной сходимости ряда

Пример. Найти интеграл .

Решение. Возьмем  и применим формулу интегрирования по частям. Для этого сначала надо вычислить  и v:  и .

Тогда .

Замечания.

1. При нахождении функции v находят не все первообразные, а только одну из них, поэтому произвольную постоянную С писать не надо; в примере было .

2. Очевидно, основная трудность применения этой формулы состоит в том, чтобы правильно выбрать компоненты интеграла u и dv. Обычно этот метод применяется, когда под знаком интеграла имеется трансцендентная функция, такая как   и т.п. Тогда можно руководствоваться следующим правилом: если производная от трансцендентной функции становится функцией алгебраической (т.е. рациональной или иррациональной дробью), то за u принимается эта функция.


функции комплексной переменной