Степенные ряды Знакопеременные ряды Ряд Фурье

Контрольная работа по математике Примеры решений

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу.

 Задача 3. Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.

 Решение.

 1. Обозначим через  первую плоскость , а через - вторую плоскость . Очевидно, что в качестве нормаль­ного вектора   искомой плоскости можно взять векторное произведе­ние нормальных векторов и данных плоскостей и :

 .

Теперь, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку   перпендикулярно вектору , получаем  или .

2. Найдем проекцию P точки  на плоскость . Вектор будет направляющим вектором перпендикуляра AP, то есть

. Поэтому каноническое уравнение этого перпендикуляра имеет вид .

Приводим данные уравнения к параметрическому виду, приравнивая к   каж­дое из трех данных отношений:.

Подставляя полученные значения  в уравнение плоскости :

, получаем: , откуда находим значение параметра, соответствующее точке P пересечения прямой AP с данной плоскостью .

Находим координаты P:

,то есть .

3.Используя формулу расстояния от точки P до плоскости , находим:

.

 Ответ: искомая плоскость , а расстояние от основания перпендикуляра AP на плоскость  до плоскости  равно 5/3.

Пример 4:

Найти количество соли в растворе через время t, если известно, что изначально было 10 кг соли в 100 л воды, но каждую минуту в резервуар поступает 20 л воды, а выливается 30 л раствора.

Vр-ра(t) = 100 + 30t –20t = 100 + 10t x(0)=0, x(t)– количество соли

 ;

 ; при t = 0 x(0)=10 C = 1000

Решим типовую задачу. Задача . Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.

Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.

 Решим конкретную задачу. Задача. Нарисовать тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип поверхностей, ограничивающих данное тело: .

Задача . Решить систему

Рассмотрим теперь задачи шестого типа, где предлагается привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм. Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка  с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.

 

Ряды и интеграл Фурье Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций Последовательность функций  непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если   Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

Теорема (замена переменной в неопределенном интеграле):

Пусть функция  является первообразной для функции  на некотором промежутке  и функция  непрерывная и имеет непрерывную производную на промежутке , причем для всякого значения  выполняется неравенство . Тогда будет справедлива формула:

  (*),

где .

Формулу (*) можно применять, не вводя явно новой переменной. В общем виде она будет выглядеть следующим образом: . Тогда, если  - первообразная функции , то . Такой прием называют внесением под знак дифференциала.


фотосъёмка новорожденных, lj.

Разложение ФКП в ряд Лорана