Числовой ряд Типовые задачи Функциональные ряды

Курсовой расчет по математике решение задач

Функциональные ряды

Пусть  – последовательность функций , все члены которой определены на одном и том же множестве значений аргумента , .

Тогда выражение , , задающее последовательное суммирование членов последовательности, называется функциональным рядом (сокр. ФР), множество   – область задания ФР.

Например,  – ФР с областью задания .

Проблематика:

понятие поточечной сходимости ФР (сокр. ), область поточечной сходимости; сумма ФР;

сохранение свойств слагаемых ряда для его суммы;

понятие равномерной сходимости (сокр.  ) ФР; свойства суммы, равномерно сходящегося ФР.

ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА

При каждом фиксированном значении  ФР  становится числовым рядом  и его поведение поддается изучению (он может быть сходящимся или расходящимся).

Областью сходимости (абсолютной сходимости) ФР ,  является множество тех , для которых соответствующий числовой ряд сходится, т.е.

 – число : .

Здесь  – фиксированное число (точка) из области определения ФР,  – число,   – -я частичная сумма числового ряда, .

Будем говорить, что ФР  сходится поточечно к  на множестве , и обозначать

.

По аналогии с числовым рядом можно сформулировать критерий Коши (поточечной сходимости ФР):

.

Для нахождения области поточечной сходимости ФР можно пользоваться рассмотренными ранее признаками сходимости числовых рядов.

ПРИМЕР 1.  – сумма всех членов геометрической прогрессии, при   , т.е. ФР  сходится к  для каждого   из интервала ; для  и для  ряд расходится. Итак, область поточечной сходимости есть интервал , сумма ряда , .

Замечаем: 1) область определения ряда  не совпадает с областью сходимости ряда , ;

2) каждое слагаемое ряда  – ограниченная на  функция, а именно,    , но сумма ряда  на  ограниченной не является, поскольку :.

Итак, при поточечной сходимости ограниченность слагаемых ФР может не сохранится для его суммы.

Пример решение задачи

Равномерная сходимость ряда

Теоремы о свойствах суммы равномерно сходящихся функциональных рядов Теорема о почленном интегрировании

Функциональные ряды в комплексной области

В задании III требуется найти интеграл от рациональной функции. Опишем указанную процедуру, приведя основную теорему.

1. Рациональной дробью называется выражение вида , где  и  многочлены от переменной х степени n и m соответственно.

Например, дроби , ,  являются рациональными дробями относительно переменной х.

2. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, строго меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

В предыдущих примерах первая дробь будет правильной, а две последние неправильными.

3. Простейшими дробями будем называть дроби вида , ,  и , где дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателях двух последних дробей, строго меньше нуля, то есть эти знаменатели нельзя разложить на вещественные простые множители.


функции комплексной переменной