Степенные ряды Знакопеременные ряды Ряд Фурье

Курсовой расчет по математике решение задач

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Представим неоднородное уравнение в виде:

, (1)

где P(x) и Q(x) - многочлены, причем .

Частное решение уравнения (1) можно искать в виде:

, где R(x) и S(x) – многочлены степени m, k –кратность корня  уравнения  

Пример:

 

В данном случае  и частное решение ищется в виде:

Подставляем выражения для и  в исходное уравнение:

  

Решение исходного уравнения:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему

, где  - произвольные постоянные

Решение представляет собой систему

, где A – матрица из коэффициентов  системы.

Введем невырожденную матрицу B замены

  

, где

Пусть l1, l2 – собственные значения матрицы A. Тогда можно найти такую матрицу B, что

Матрица A1 запишется в виде , где – собственные значения характеристического многочлена матрицы A (собственные числа):

Тогда:

=>  => ;

, где  и  - собственные векторы матрицы A.

 

Пример:

 

Собственные числа матрицы A:

 Нетрудно найти, что 

 

Общее решение системы уравнений:

Пример Рассмотрим случай, когда корни характеристического многочлена совпадают.

Универсальная тригонометрическая подстановка очень часто приводит к дроби, интегрирование которой представляет собой весьма трудоемкий процесс. Поэтому эта подстановка на практике используется очень редко. Чаще при вычислении интеграла вида , где  - рациональная функция двух переменных

Пример. Найти интеграл .

В задании V требуется найти площадь плоской фигуры с использованием определенного интеграла. Приведем основные формулы, необходимые для этого

Пример. Найти длину дуги кривой

Пример. Найти , .

Сделаем замену переменной по формуле .

Тогда . Для того, чтобы выразить  через , продифференцируем равенство :

.

Тогда .


Разложение ФКП в ряд Лорана