Числовой ряд Типовые задачи Функциональные ряды

Курсовой расчет по математике решение задач

Степенные ряды Поточечная сходимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

.  (1)

Здесь  – числовая последовательность,  – фиксированное число (точка). Ряд (1) называется смещенным. Удобнее рассматривать несмещенный степенной ряд

,  (2)

а результаты перенести на смещенный степенной ряд заменой  на .

Структура множества точек поточечной сходимости степенного ряда (2) определяется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА АБЕЛЯ

Если : ряд  сходится, то  ряд  сходится (абсолютно).

Если : ряд  расходится, то  ряд  расходится.

Доказательство. Поскольку ряд  сходится, то по необходимому условию . Сходящаяся последовательность всегда ограничена, т.е. .

Пусть  – фиксированное и . Тогда , т.е. члены ряда  меньше () соответствующих членов ряда , который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем .

Итак, на  исходный ряд сходится (абсолютно).

Пусть ряд  расходится. Возьмем произвольное фиксированное . Предположим, что ряд  сходится, тогда по доказанному выше в каждой точке  ряд  сходится, т.е., в частности, ряд  сходится, а это противоречит предположению о его расходимости. Требуемое утверждение обосновано.

Замечание. Для множества  – точек сходимости ряда (2) (в рассматриваемом случае) , для множества   – точек расходимости ряда (2) . Поскольку в каждой точке числовой оси ряд (2) сходится или расходится, то  – число (радиус сходимости) такое, что   ряд  сходится, а для  ряд  расходится. Интервал  – интервал сходимости ряда (2). Поведение ряда при  и при  требует дополнительного исследования.

Итак, область сходимости несмещенного степенного ряда  есть интервал сходимости  с возможно присоединенными "концами"; для смещенного степенного ряда  область сходимости есть интервал  с возможно присоединенными концами  или .

Для нахождения  – радиуса сходимости можно использовать следующие рассуждения.

(*) В степенном ряде НЕТ нулевых слагаемых, т.е. степени переменной расположены подряд, без пропусков. Степенной ряд имеет вид . В этом случае рассмотрим ряд из абсолютных величин, зафиксируем значение  и применим признак Д'Аламбера (или признак Коши). Получим

  (требуем) ; аналогично .

Пример . Найдем область сходимости степенного ряда , используя известную структуру его области сходимости. Равномерная сходимость

Разложение функций в степенные ряды Пример Пусть Рассмотрим ряд , можно вычислить радиус сходимости , т.е. на  . После почленного дифференцирования получим , т.е. функция  – решение задачи Коши ДУ  или . Уметь находить промежуток сходимости степенного ряда

Понятие числового ряда Свойства сходящихся рядов

Числовые ряды с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости Одним из признаков существования предела является следующее утверждение: если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Лемма. Если члены ряда неотрицательны, то он сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

В задании III требуется найти интеграл от рациональной функции. Опишем указанную процедуру, приведя основную теорему.

1. Рациональной дробью называется выражение вида , где  и  многочлены от переменной х степени n и m соответственно.

Например, дроби , ,  являются рациональными дробями относительно переменной х.

2. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, строго меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

В предыдущих примерах первая дробь будет правильной, а две последние неправильными.

3. Простейшими дробями будем называть дроби вида , ,  и , где дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателях двух последних дробей, строго меньше нуля, то есть эти знаменатели нельзя разложить на вещественные простые множители.


функции комплексной переменной