Числовой ряд Типовые задачи Функциональные ряды

Курсовой расчет по математике решение задач

Степенные ряды

ПРИМЕР 1. Найдем область сходимости степенного ряда , используя известную структуру его области сходимости.

Решение. Здесь ; по формуле

; при   ряд  расходится; при  ряд  сходится (условно).

Итак, область сходимости ряда есть промежуток , или , или .

(**) В некоторых степенных рядах показатели степеней аргумента расположены не подряд, а по какому-то закону, например ,  и т.д. с нулевыми слагаемыми. В этом случае радиус сходимости вычисляем, исходя из общих соображений.

Замечания. 1. Случаи  и  допустимы, например, для ряда  область сходимости состоит из точки   (); для ряда  область сходимости  соответственно .

2. Для степенного ряда в , т.е. для рядов  и , где ,  – комплекснозначная числовая последовательность, ТЕОРЕМА АБЕЛЯ имеет место. Область сходимости есть круг сходимости  или  с возможно присоединенными точками, лежащими на окружности  или . Нахождение  проводится аналогично, но соответствующие ряды строятся "из модулей" слагаемых.

ПРИМЕР 2. Найти и построить круг сходимости степенного ряда .

Решение. Задан смещенный степенной ряд при  и .

Тогда .

Итак, круг сходимости  есть множество всех точек круга (без границы) с центром в точке  и радиусом длиной  (см. рисунок).

Замечание. Степенные ряды применяются для задания функций (их сумм), а также для приближенных вычислений, использующих представление функций степенными рядами. Для решения этих задач нужно уметь устанавливать свойства сумм степенных рядов, гарантированных равномерной сходимостью рядов.

Пример:

 Замена: y = UV 

Так как ищем одно любое решение, то при интегрировании не надо добавлять константу:  Подставим в исходное уравнение:

Следовательно,

Этот метод применим и для нелинейного уравнения: , где к– константа

Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем

Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:

 Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение  из последнего уравнения интегрированием находим U, а затем уже зная V(x) находим у.

В задании III требуется найти интеграл от рациональной функции. Опишем указанную процедуру, приведя основную теорему.

1. Рациональной дробью называется выражение вида , где  и  многочлены от переменной х степени n и m соответственно.

Например, дроби , ,  являются рациональными дробями относительно переменной х.

2. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, строго меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

В предыдущих примерах первая дробь будет правильной, а две последние неправильными.

3. Простейшими дробями будем называть дроби вида , ,  и , где дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателях двух последних дробей, строго меньше нуля, то есть эти знаменатели нельзя разложить на вещественные простые множители.


функции комплексной переменной