Числовой ряд Типовые задачи Функциональные ряды

Типовой расчет по математике Примеры задачи

Разложение функций в степенные ряды ПРИМЕР 4. Пусть

Тогда ;

 – считается аналогично; и вообще .

Получаем: 1) ~, ;

2) , ;

3)  на .

Пример показывает, что существуют функции, для которых "порожденный" ими ряд Тейлора сходится, но не к исходным функциям.

Рассмотрим одно из возможных достаточных условий представления (разложения) функции ее рядом Тейлора.

ТЕОРЕМА. Пусть для , , :

1) при ; 2) , , .

Тогда ряд Тейлора функции  по степеням разности  сходится к функции   на , т.е.

.  (*)

Доказательство. Оценим

,

здесь , так как  лежит между  и , , ; число ,  – фиксированная точка. При   (см. аналогичный пример в типовых задачах к п.1), поэтому  при всяком . Формула (*) обоснована при условиях теоремы.

ПРИМЕРЫ разложения функций в степенные ряды

1.  удовлетворяет условиям теоремы (о достаточных условиях разложения):

1) ;

2) :, , .

Верна формула

.

(Ряд Тейлора при  иногда называют рядом Маклорена).

Записанное тождество верно поточечно на , ; равномерная сходимость на .

2.  разложение получим, если воспользуемся операцией почленного дифференцирования для предыдущего ряда.

,

здесь ; равномерная сходимость на .

Если дробь неправильная, то из нее можно выделить целую часть, то есть представить дробь в виде , где  многочлен степени n-m, а  - многочлен степени , то есть дробь  - правильная. Чтобы получить такое представление дроби, надо разделить числитель  на знаменатель  с остатком. Тогда многочленом  будет неполное частное, а  остаток от деления.

Правильную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших дробей.

Теорема о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

Пусть дробь - правильная, несократимая и многочлен  разложен на множители в области вещественных чисел, то есть , где все квадратные трехчлены  не имеют вещественных корней


функции комплексной переменной