Числовой ряд Типовые задачи Функциональные ряды

Типовой расчет по математике Примеры задачи

Рассмотрим ряд , можно вычислить радиус сходимости , т.е. на  . После почленного дифференцирования получим , т.е. функция  – решение задачи Коши ДУ  или . Итак, имеем

.

4. Функция  – гиперболический синус аргумента  – вводится равенством ; проведя арифметические операции над разложением  получим

.

5. Для гиперболического косинуса  имеем разложение по степеням

.

6. Биномиальный ряд. Рассмотрим разложение    – любое действительное число.

Заметим сразу, что при  по формуле бинома Ньютона имеем представление функции  многочленом степени   по степеням .

Поэтому в дальнейшем, предполагаем . Проводим вычисления: ; ;  и, в общем случае, .

Итак,

~.

Построенный степенной ряд имеет интервал сходимости , где , т.е. построенный ряд на   сходится к некоторой функции . Совпадение  и  следует из условия  (см. подробно [3]). Итак, при

Ряды Тейлора для основных элементарных функций

Приведем разложения основных элементарных функций в ряд Тейлора.

1)

=>

*

*Проинтегрировав в пределах от 0 до x, получим:

*

*сходится при , в частности:

*

*

Если дробь неправильная, то из нее можно выделить целую часть, то есть представить дробь в виде , где  многочлен степени n-m, а  - многочлен степени , то есть дробь  - правильная. Чтобы получить такое представление дроби, надо разделить числитель  на знаменатель  с остатком. Тогда многочленом  будет неполное частное, а  остаток от деления.

Правильную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших дробей.

Теорема о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

Пусть дробь - правильная, несократимая и многочлен  разложен на множители в области вещественных чисел, то есть , где все квадратные трехчлены  не имеют вещественных корней


функции комплексной переменной