Числовой ряд Типовые задачи Функциональные ряды

Типовой расчет по математике Примеры задачи

Задача . Уметь находить промежуток сходимости степенного ряда.

ПРИМЕР. Для ряда  найти область сходимости; провести операции почленного интегрирования и дифференцирования этого ряда, уточнить область сходимости полученных рядов.

Решение. , для всякого  при  ряд сходится (поточечно и абсолютно); при  ряд запишется   – сходится по теореме Лейбница, при   имеем  – расходится, поскольку расходится ряд , но  для . Итак,  – промежуток сходимости исходного ряда.

После интегрирования получаем ряд , радиус сходимости сохраняется . Поведение ряда в граничных точках: при   – сходится (по теореме Лейбница); при   – расходится, поскольку , а ряд  расходится по интегральному признаку.

Итак, видим, что в данном случае (значит НЕ ВСЕГДА!) операция интегрирования не улучшила область сходимости.

После дифференцирования получаем ряд  с ; при  и  ряды расходятся, поскольку не выполняется НЕОБХОДИМОЕ условие сходимости: .

Итак, после дифференцирования промежуток сходимости "ухудшился", так как новый ряд сходится на .

Задача 2. Разложение функции в степенной ряд.

Условия и примеры разложения функции в степенной ряд по степеням разности  (в ряд Тейлора) уже рассмотрены (разложение по определению). Причем такой ряд для функции единственен, поскольку единственным образом вычисляются коэффициенты ряда Тейлора.

Иногда из каких-либо соображений известно (или получено) тождество , , тогда, очевидно, ряд, стоящий справа в тождестве, является рядом Тейлора  в . Поэтому разложение функции в степенной ряд Тейлора можно проводить не только по определению, но и "искусственными" приемами:

(*) проводим разложение функции, подгоняя выражение под формулу   при , например, для  имеем .

Уточняем поведение ряда на концах интервала сходимости при , получаем промежуток сходимости ;

(**) получаем разложение для  с помощью "эталонных" (известных) разложений. Например, для  имеем

, ;

(***) с помощью арифметических операций над рядами, их дифференцирования и интегрирования. Например, разложение  получим преобразованиями

 и т.д. Здесь использованы арифметические операции над известными рядами; получили степенной ряд по степеням разности ; его область сходимости – пересечение областей сходимости используемых рядов; в рассматриваемом примере – вся числовая ось.

Для  можно применить операцию дифференцирования ряда, а именно

.

Если дробь неправильная, то из нее можно выделить целую часть, то есть представить дробь в виде , где  многочлен степени n-m, а  - многочлен степени , то есть дробь  - правильная. Чтобы получить такое представление дроби, надо разделить числитель  на знаменатель  с остатком. Тогда многочленом  будет неполное частное, а  остаток от деления.

Правильную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших дробей.

Теорема о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

Пусть дробь - правильная, несократимая и многочлен  разложен на множители в области вещественных чисел, то есть , где все квадратные трехчлены  не имеют вещественных корней


функции комплексной переменной