Числовой ряд Типовые задачи Функциональные ряды

Типовой расчет по математике Примеры задачи

Элементарные функции комплексной переменной (сокр. ФКП)

К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические; функции, обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий возведения в степень и извлечения корня ""-й степени, обычно тоже называются элементарными (см. [5], [7]).

Рациональные ФКП

ЦЕЛАЯ рациональная ФКП – многочлен вида

,

где , , – действительные или комплексные числа, определена и непрерывна всюду на  – плоскости, имеет "" нулей, .

ДРОБНО-рациональная ФКП – отношение многочленов  – определена и непрерывна всюду на  – плоскости, кроме точек – нулей знаменателя; нули функции  совпадают с нулями многочлена , стоящего в числителе. В окрестности точки разрыва  либо ограниченная, либо неограниченная соответственно тому, равно конечному числу или  значение .

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФКП.

ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА

ФКП , ,  определяются как суммы соответствующих степенных рядов

;

.

Легко проверить, что каждый из этих рядов имеет бесконечный радиус сходимости, т.е. область определения сумм этих рядов есть  – плоскость (при  функции не определены).

Связь между ФКП , ,  определяется формулами (тождествами) Эйлера:

.

Свойства ФКП

. 2.   .

3. При  имеем  – ряд Тейлора действительной показательной функции   по степеням , известный ранее, т.е. можно сказать, что ФКП  есть (аналитическое) продолжение на  – плоскость действительной функции .

Для любых комплексных чисел  и  справедливо равенство

.

В самом деле, для всяких  и  имеем

(ряды сходятся абсолютно и их можно перемножать как многочлены)

;

здесь в каждой строке записан (схематично) результат умножения слагаемого первого ряда на второй ряд; суммирование полученных слагаемых проведено подиагонально.

В частности, , т.е. ; .

; .

 не имеет нулей, так как , а   и  одновременно не обращаются в нуль.

 – периодическая ФКП, множество периодов есть , , так как  при любом целом значении .

Таким образом, для ФКП  некоторые свойства функции  сохраняются (значение в нуле, отсутствие нулей, совпадение функций со своей производной и т.д.); некоторые свойства не сохраняются (нельзя говорить, например, о графике ФКП, о монотонности ее, о знаке значений ); добавляются новые свойства ФКП  (например, связь с тригонометрическими ФКП, периодичность), не имеющие аналога в действительной области.

Заметим, что иногда обозначают .

Рациональные ФКП Вычислить приближенно . Гиперболические ФКП. Формулы ЭЙЛЕРА Вычислить .

Тригонометрические ряды терменология. Постановка задачи

Разложение функций в степенные ряды Тейлора имеют недостатки: суммой сходящихся степенных рядов могут быть лишь функции, дифференцируемые в точке бесконечное множество раз; частичные суммы степенного ряда приближают функцию только в некоторой окрестности точки разложения и т.д. Вместе с тем как в самой математике, так и в ее приложениях приходится исследовать функции, заданные на промежутках и имеющие там "изломы" и "скачки", т.е. не только недифференцируемые в некоторых точках, но даже и не являющиеся непрерывными на промежутках. Для таких функций может оказаться эффективным представление их тригонометрическими рядами.Периодические функции

Гармоники Простейшими периодическими функциями являются простые гармоники (или просто гармоники) – функции вида Условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье

Из сходимости тригонометрического ряда (4) имеем  или . Интуитивно ясно, что равенство возможно лишь при одновременном стремлении нулю последовательностей  и  при .

Если дробь неправильная, то из нее можно выделить целую часть, то есть представить дробь в виде , где  многочлен степени n-m, а  - многочлен степени , то есть дробь  - правильная. Чтобы получить такое представление дроби, надо разделить числитель  на знаменатель  с остатком. Тогда многочленом  будет неполное частное, а  остаток от деления.

Правильную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших дробей.

Теорема о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

Пусть дробь - правильная, несократимая и многочлен  разложен на множители в области вещественных чисел, то есть , где все квадратные трехчлены  не имеют вещественных корней


функции комплексной переменной