Числовой ряд Типовые задачи Функциональные ряды

Типовой расчет по математике Примеры задачи

Достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье

Характер и скорость сходимости ТРФ функции определяется не только непрерывностью функции, но главным образом ее гладкостью на промежутке периодичности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция ,  называется гладкой на , если производная функции  непрерывна на .

Функция ,  называется кусочно-гладкой на , если как сама функция , так и ее производная функция  
непрерывны или кусочно-непрерывны на .

График гладкой функции – плавная кривая, не имеющая угловых точек. График кусочно-гладкой функции – непрерывная или разрывная кривая, возможно имеющая конечное число угловых точек и конечное число точек разрыва первого рода. Всякая кусочно-гладкая функция ограничена и имеет ограниченную производную всюду, за исключением угловых точек и точек разрыва.

Чем "глаже" функция, т.е. чем ближе функция к гладкой функции, тем "лучше" и "быстрее" сходится ее ТРФ. По вопросам сходимости ТРФ имеется много тонких сложно доказываемых результатов. Ограничимся сравнительно грубыми, но наиболее употребительными достаточными условиями сходимости ТРФ.

ТЕОРЕМА (о достаточных условиях сходимости ТРФ)

Если –периодическая функция  кусочно-гладкая на , то
1) ТРФ функции   существует; 2) ТРФ сходится всюду;
3) сумма ТРФ равна  в каждой точке непрерывности функции  и равна числу  – (полусумме значений лево- и правостороннего пределов функции ) в каждой ее точке разрыва.

Доказательство теоремы изложено, например, в [6].

ПРИМЕР 2. Построить ТРФ функции  с периодом , заданной на  равенством . Сравнить сумму ТРФ и
функцию .

Решение. График функции схематично представлен на рисунке. Функция удовлетворяет условиям теоремы (о достаточных условиях), поэтому для нее существует ее ТРФ. При вычислении коэффициентов Фурье (6) – (8) воспользуемся свойствами периодической функции – проведем сдвиг отрезка интегрирования с сохранением его длины. В нашем случае удобнее вычислить интегралы не на , а на . Поэтому имеем ;

.

.

Итак, ТРФ запишется в виде  или , причем ряд сходится всюду, и его сумма  отличается от значений функции  только в точках разрыва, где она равна .

График функции  – суммы построенного ряда схематично представлен на рисунке.

Тот факт, что для –периодической функции  на  имеем  во всех точках, кроме конечного множества точек разрыва функции (т.е. "почти всюду"), условно будем записывать с помощью знака "" – "равно почти всюду".
Поэтому окончательно для функции примера может записать , причем в точках разрыва .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция  удовлетворяет условиям Дирихле на , если

1)  непрерывна или кусочно-непрерывна на ;

2)  имеет конечное число строгих локальных экстремумов
на .

ПРИМЕР 3. Функция  всюду непрерывна и дифференцируема, но на  условиям Дирихле не удовлетворяет, так как имеет бесконечное множество локальных экстремумов на этом отрезке.

ПРИМЕР 4. Функция  является неограниченной на , поэтому она условиям Дирихле на  не удовлетворяет.

ПРИМЕР 5. Функция  удовлетворяет условиям Дирихле на любом отрезке числовой оси.

ПРИМЕР 6. Функция  удовлетворяет условиям Дирихле на всяком отрезке числовой оси.

ПРИМЕР 7. Функция , заданная графиком на рисунке, удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке :

1)  – кусочно-непрерывна, имеет конечное число точек разрыва на ;

2)  имеет конечное число строгих локальных экстремумов.

ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ (достаточное условие сходимости ТРФ)

Если –периодическая функция  удовлетворяет условиям
Дирихле на , то 1) ТРФ функции  существует;  2) ТРФ сходится всюду; 3) сумма ТРФ – функция  и исходная функция  связаны равенством

                               (9)

или

.       (10)

Доказательство теоремы изложено, например, в [4], [6].

Замечания. 1. Условия рассмотренных теорем являются только достаточными условиями разложимости функции  в ее ТРФ.

Существуют функции, не удовлетворяющие условиям этих теорем, но разложимые в ТРФ. Например,  – периодическая функция  – неограниченная, а поэтому не удовлетворяет условиям теорем. Но для ,  справедливо равенство

(см. [3]). "Жесткость" условий Дирихле привела к целому ряду исследований по расширению класса функций, представимых ТРФ. Минимум ограничений, необходимых для сходимости ТРФ к функции, еще не сформулирован.

2. Из теорем видно, что значения функции в точках ее разрыва не влияют на значения коэффициентов ТРФ этой функции. Поэтому функции, имеющие одни и те же точки разрыва и отличающиеся друг от друга значениями лишь в этих точках, разлагаются в один и тот же ТРФ.

Тригонометрические рыды Фурье для четных и нечетных функций Разложение непериодической функции в тригонометрический ряд Фурье

Пример. Разложить функцию ,  в ТРФ, доопределив ее четным образом на . Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье Рассмотрим –периодическую функцию , ( – время), удовлетворяющую условиям разложимости в ТРФ Обозначим . Пример. Разложить  – периодическую функцию , заданную на  соотношением  в ТРФ в комплексной форме.

Для функции предыдущего примера построить ее частотные спектры Понятие функции комплексной переменной. Простейшие свойства определение ФКП Пример. Показать по определению .

ФКП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. В силу теоремы, сформулированной в п. 1.2, ФКП   непрерывна в точке (на множестве) тогда и только тогда, когда каждая из функций  и  непрерывна в точке (на множестве) как действительная функция двух действительных переменных. Поэтому же для ФКП справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения и отношения непрерывных функций, а также теорема о непрерывности сложной функции непрерывных функций.

Пример. Построить область, ограниченную линиями: ; ;

Теорема утверждает, что каждая правильная дробь раскладывается на сумму простейших дробей в соответствии с разложением на множители знаменателя. Каждому множителю вида  соответствует k дробей вида , где показатель i меняется от 1 до s, и в числителях стоят некоторые константы , и каждому множителю вида  соответствуют m дробей вида , где показатель j меняется от 1 до r, а в числителях стоят линейные функции .

Рассмотрим теперь интеграл .

Чтобы его вычислить, достаточно руководствоваться несколькими правилами:

1) Если дробь  неправильная, то из нее надо выделить целую часть. Последняя является многочленом, следовательно, легко интегрируется, поэтому проблема сводится к интегрированию правильной дроби.

2) Правильную дробь надо разложить на сумму простейших дробей. Тогда интеграл от этой дроби сведется к сумме интегралов от простейших дробей.


функции комплексной переменной