Числовой ряд Типовые задачи Функциональные ряды

Типовой расчет по математике Примеры задачи

Дифференцирование ФКП Определение производной ФКП

 

Пусть однозначная ФКП  задана в области , ,  при произвольном ненулевом достаточно малом по модулю . Тогда производной ФКП  в точке  называется значение предела

 (1)

при произвольном стремлении .

Формально определение производной ФКП  совпадает с определением производной  функции действительной переменной  в точке . Поэтому некоторые понятия и формулы теории дифференцирования функции действительной переменной переносятся на ФКП. В частности, только для непрерывной в точке ФКП может существовать производная в точке. Совпадают и основные ПРАВИЛА вычисления производных:

1. Если , , то  на , т.е. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. Если , , то  и  – правило дифференцирования сложной ФКП.

Заметим, что перечисленные формулы имеют место при предположении существования всех производных, входящих в правые части равенств. Здесь   и функции зависят от  как от "единого" сочетания переменных  и .

Пример 5:

 см. рис.5 (через каждую точку на оси Ох проходит два решения (две интегральные кривые): частное и особое).

Рис.5

Можно  построить интегральную кривую в каждой точке, используя понятие о геометрическом смысле производной: tgα = f(x,y) (рис.6). Таким образом задают поле направлений, т.е. задают прямую в каждой точке, а потом проводят кривую касательную ко всем прямым в этих точках и получают интегральную кривую (одно из решений).

рис.6

Сформулируем важнейшую теорему.

Теорема (О существовании и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения y’=f(x ,y)):

 Пусть  - непрерывная функция (рис.7) в области, причем   - также непрерывна в . Тогда существует единственное решение y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x, y) с начальным условием y(x0)=y0, (x0,y0) принадлежит D. Следовательно, через точку  проходит только одна интегральная кривая.

Рис.7

(без доказательства).

Условия дифференцируемости ФКП С понятием производной ФКП в точке связано понятие дифференцируемости ФКП в точке (на множестве).

Пример. Показать, что ФКП  всюду дифференцируема; вычислить производную ФКП.

Аналитичность ФКП Из множества дифференцируемых ФКП выделяются аналитические ФКП (сокр. АФКП); свойства аналитических ФКП изучает теория аналитических функций комплексной переменной. Однозначная ФКП   называется аналитической (иначе регулярной) в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Восстановление аналитической ФКП по известной ее действительной компаненте

Рассмотрим интегрирование простейшей дроби четвертого типа. Сначала выделим полный квадрат в знаменателе этой дроби: . Так как дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, то , поэтому можно ввести обозначение . Кроме того, введем замену переменной . Тогда ,

где . Первый из полученных интегралов берется подведением под знак дифференциала:

.

Что касается второго интеграла, то к нему применяется прием, называемый понижением степени. Обозначим этот интеграл через .


функции комплексной переменной