Степенные ряды Знакопеременные ряды Ряд Фурье

Курсовая работа по математике Задачи решения

Интеграл ФКП определение и свойства интеграла ФКП

 

Пусть ФКП  определена в точках несамопересекающейся дуги , расположенной в –плоскости. Дуга  ориентирована от точки   к точке , причем точка  соответствует , точка  .

Рассмотрим произвольное разбиение дуги  системой точек  такое, что ,  и  упорядочены по длине дуги от точки  до конечной точки разбиения .

Выберем на дуге  произвольную систему точек  так, чтобы точка  лежала на дуге между точками  и   (см. рисунок).

Сумма , где , называется интегральной суммой функции   по дуге , соответствующей разбиению  и выбору точек системы , ее значение зависит от разбиения  и выбора точек .

Обозначим  – диаметр разбиения.

Интегралом ФКП   по дуге  называется число (вообще говоря, комплексное число), обозначаемое  и равное пределу интегральной суммы функции  при , независимое от разбиения  и выбора точек системы , т.е.

. (1)

Доказано (см. [2]), что для непрерывной на дуге  ФКП  и кусочно-гладкой дуги   интеграл (1) существует. Впредь будем предполагать эти условия выполненными.

СВОЙСТВА интеграла

Если в выражении  выделить действительную и мнимую части, то из существования интеграла (1) следует существование пределов этих частей, и интеграл (1) представится в виде суммы двух криволинейных интегралов 2 рода по дуге , а именно:

, (2)

где , , , .

Поэтому свойства криволинейных интегралов 2 рода (по координатам) переносятся на интеграл ФКП (1). Отметим из них следующие:

1)   (аддитивность по функции);

 ,  (аддитивность по дуге);

  (однородность);

  – смена знака значения интеграла при
изменении ориентации дуги.

2) ,  ( на ).

3) Если дуга  – контур, т.е. , то интеграл ФКП по контуру  обозначается . Если , то интеграл называется несобственным интегралом.

4) Оценка интеграла ФКП проводится по формуле

, (3)

если   ограничена на , т.е. существует число   такое, что  на ;  – длина дуги .

5) Если дуга  задана параметрически  т.е. , , то вычисление интеграла (1) проводится с помощью вычисления соответствующих криволинейных интегралов (2) сведением к определенному интегралу
с использованием уравнений дуги:

. (4)

Позднее будут рассмотрены другие способы вычисления интеграла ФКП по дуге и по контуру.

6) , так как на окружности  имеем  и . (5)

Вычисления интегралов ФКП, рассмотренные далее, используют указанные свойства интегралов.

Пример. Вычислить интеграл , где  – отрезок, соединяющий точки   и .

Интегрирование аналитической ФКП. Теорема Коши Одним из важнейших свойств аналитической в области ФКП является независимость интеграла этой функции от дуги (от пути интегрирования).

Пример. Вычислить интеграл ,  – целое.

Интегральная формула Коши Пусть ФКП  – аналитическая в односвязной области , произвольный контур   "погружен" в ,  – произвольная точка внутри . Тогда в этой точке  значение ФКП  определяется через значения  на контуре  по интегральной формуле

Классификация особых точек ФКП Разложение ФКП в ряд Тейлора Пример. Разложить в ряд ФКП  по степеням .

Формула  называется рекуррентной формулой и ею можно пользоваться при вычислении подобных интегралов, но так как эту формулу трудно выучить наизусть, предпочтительнее при вычислении таких интегралов пользоваться тем приемом, с помощью которого эта формула была получена.

В дальнейшем мы узнаем еще один способ вычисления подобного интеграла.

Рассмотрим несколько примеров.


Разложение ФКП в ряд Лорана