Степенные ряды Знакопеременные ряды Ряд Фурье

Курсовая работа по математике Задачи решения

Разложение ФКП в ряд Лорана

Пусть однозначная ФКП  является аналитической функцией внутри кольца  между окружностями  и   с центром ; пусть   – произвольная точка этого кольца.

Тогда аналогично тому, как это проделано в 4.1, можно показать (см. [1 – 4]), что в указанном кольце ФКП  единственным образом разложима по степеням разности  в ряд следующего
вида:

, (4)

где коэффициенты  при   определяются формулой

, (5)

а   – любая расположенная в кольце окружность с центром в точке  и положительно ориентированная относительно области,
содержащей точку .

Ряд по степеням  в (4) называется рядом Лорана ФКП   в кольце ее аналитичности .

Ряд Лорана (4) отличается от ряда Тейлора (2) тем, что он помимо степеней разности  с положительными целыми показателями (правильная часть ряда Лорана) содержит степени разности  с отрицательными целыми показателями (главная часть ряда Лорана).

Разложение ФКП  в ряд Лорана в кольце аналитичности проводится, как правило, не с помощью формулы (5), а с использованием уже известных разложений функции в степенной ряд либо искусственными приемами.

ПРИМЕР 6. Используя представление ФКП  по степеням ,
получить разложение в ряд для .

Решение. ФКП  имеет особую точку ; в кольце  она представима рядом Лорана

;

здесь главная часть ряда Лорана отсутствует.

Пример. Убедиться, что для ФКП  ряд Лорана по степеням   состоит из конечного числа слагаемых.

Пример. Указать все области, в которых возможно разложение функции  в ряды Лорана по степеням . Найти эти разложения.

Классификация изолированных особых точек ФКП Пример. Показать, что функция  имеет УОТ .

Пример Показать, что для ФКП  точка  – полюс второго порядка, точка  – полюс первого порядка.

Формула  называется рекуррентной формулой и ею можно пользоваться при вычислении подобных интегралов, но так как эту формулу трудно выучить наизусть, предпочтительнее при вычислении таких интегралов пользоваться тем приемом, с помощью которого эта формула была получена.

В дальнейшем мы узнаем еще один способ вычисления подобного интеграла.

Рассмотрим несколько примеров.


Разложение ФКП в ряд Лорана