Степенные ряды Знакопеременные ряды Ряд Фурье

Курсовая работа по математике Задачи решения

Интегрирование ФКП с помощью вычетов Вычет ФКП в особой точке , его вычичление

Понятие вычета является одним из основных понятий в теории ФКП и ее приложениях.

Вычетом однозначной функции  в изолированной особой точке  называется число, равное , где  – произвольный контур, охватывающий один раз особую точку  и не содержащий внутри других особых точек функции . Контур   предполагается положительно ориентируемым по отношению к области, содержащей особую точку. Значение вычета обозначается символически , , ,  и т.д. (от французского слова "Residu", означающего "вычет"), итак,

. (1)

Заметим, что от вида контура  значение вычета ФКП не зависит.

Если ФКП  аналитическая в точке , то существует некоторая окрестность  аналитичности функции. Пусть  произвольный контур, расположенный в  и охватывающий
точку . Тогда по теореме Коши интеграл , т.е. в точке аналитичности ФКП ее вычет всегда равен нулю.

Вычисление вычета ФКП в особой точке может проводиться не по формуле (1), а по специальным формулам для разных типов
особых точек функций.

Разложив в ряд Лорана  в кольце аналитичности, примыкающем к ОТ , и применив операцию почленного интегрирования к ряду (4) (см. гл. 4), получим равенство

, (2)

т.е. значение вычета ФКП  в изолированной особой точке  совпадает с коэффициентом   в разложении в ряд Лорана по степеням  ФКП . В случае, когда точка  – СОТ функции , значение вычета всегда находят, используя разложение функции в ряд Лорана.

Если  – полюс ""-го порядка ФКП , то можно показать, что .  (3)

Причем если  – простой полюс, то из (3) получаем

. (4)

Для , где  и  – аналитические ФКП,
при   – простом полюсе формула (4) может быть упрощена.
В самом деле, находим,

. (5)

Вычет ФКП  в точке  определяется равенством

. (6)

Весь контур  расположен в окрестности точки ,
не содержит кроме   других особых точек, ориентирован положительно относительно области, содержащей , обходится только один раз. Через коэффициенты ряда Лорана имеем

. (7)

Если  () – УОТ ФКП , то , т.е. . Заметим, что для  – УОТ ФКП  вычет функции может быть отличен от нуля.

Пример. Вычислить вычеты ФКП

Основная теорема о вычетах Пусть ФКП  аналитическая на границе  области  и внутри этой области за исключением конечного множества изолированных особых точек . Построим около каждой особой точки  контур  так, чтобы внутри  была только одна особая точка ; контуры не пересекались; все контуры   были расположены внутри , ориентация всех контуров совпадает Пример Для  убедиться в выполнении равенства Вычислить .

Интегрирование функции действительной переменной методами теории ФКП

Пример. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящую под знаком интеграла, представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: . Чтобы найти коэффициенты разложения, снова приведем сумму этих простейших к общему знаменателю. Тогда . Сравним первую дробь этого равенства с последней. Так как знаменатели этих дробей равны, то должны быть равны и числители, т. е. . Теперь для нахождения неопределенных коэффициентов можно воспользоваться одним из двух критериев равенства двух многочленов:

1) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях.

2) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда значения этих многочленов равны при любом значении переменной х.


Разложение ФКП в ряд Лорана