Курсовая работа по математике Задачи решения

Операционное исчисление

В основе операционного исчисления лежит преобразование Лапласа Множество функций-оригиналов отображается в множестве функций-изображений, при этом операции над оригиналами переходят в некоторые операции над изображениями. В частности, операции дифференцирования и интегрирования оригиналов переходят в действия соответственно умножения и деления во множестве изображений. Поэтому линейное дифференциальное уравнение в множестве оригиналов преобразуется в алгебраическое уравнение в множестве изображений. Решив полученное алгебраическое уравнение, находим прообраз его решения в множестве оригиналов, затем восстанавливаем решение исходного дифференциального уравнения.

Такова основная идея применений операционного вычисления как символического метода решения некоторых дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

В настоящее время операционное исчисление широко используется для решения многих прикладных задач, в частности задач радиотехники и электротехники.

ОРИГИНАЛ. ИЗОБРАЖЕНИЕ

Оригиналом или начальной функцией называется функция  действительного переменного , удовлетворяющая следующим условиям:

1)  ;

2) при  функция  имеет на каждом отрезке конечной длины пустое или конечное множество точек разрыва первого рода;

3) при  функция  возрастает не быстрее показательной функции, т.е. ,  такие, что выполняется неравенство   , обычно под числом  – показателем роста функции  – понимается наименьшее из возможных чисел.

ПРИМЕР 1. Единичная функция Хевисайда обозначается через  и записывается в виде  график ее представлен на рисунке. Функция   является оригиналом, причем , .

Очевидно, что для произвольной функции , определенной на  и удовлетворяющей условиям 2 и 3, произведение  является оригиналом (например, ,   и т.д.)

ПРИМЕР 2. Функция  является оригиналом, причем для всех  имеем , т.е. , .

ПРИМЕР 3. Функция  не является оригиналом, поскольку в точке  функция имеет разрыв второго рода.

ПРИМЕР 4. Функция  не является оригиналом, так как при  растет быстрее любой показательной функции вида .

Нетрудно проверить, что произведение оригинала на число, сумма и произведение конечного множества оригиналов есть также оригинал.

Изображением (по Лапласу) оригинала  называется комплекснозначная функция  комплексной переменной (иногда ), определяемая интегралом Лапласа:

. (1)

Здесь интегрирование проводится по действительной переменной , , т.е. интеграл (1) является несобственным, зависящим от параметра , причем область определения функции  является совокупностью тех комплексных чисел , для которых интеграл (1) имеет смысл.

Переход от оригинала  к изображению  по формуле (1) есть преобразование Лапласа (сокр. ПЛ); будем обозначать его так:

(читается: "оригиналу  соответствует изображение ").

Теорема (существования изображения)

Пусть  – показатель роста функции . Тогда интеграл Лапласа сходится для всех   таких, что , причем для , удовлетворяющих условию  ( – некоторое число, большее ), сходимость является равномерной.

Справедливость теоремы следует из соотношений: ,  и оценки модуля интеграла Лапласа

, (2)

верной для всех  из промежутка .

Следствие. Из соотношения (2) имеем равенство

. (3)

Теорема (об аналитичности изображения)

Изображение Лапласа  для оригинала  с показателем роста  является аналитической функцией переменной  в области .

Доказательство теоремы проводится аналогично.

Теоремы показывают, что не всякая функция от  может быть изображением некоторого оригинала. Изображение  должно быть аналитической функцией комплексной переменной, в частности, удовлетворяющей условию (3), в области . Впредь будем рассматривать   в области ее существования.

ПРИМЕР 5. Изображение для оригинала  найдем по формуле (2), а именно: , .

Здесь при подстановке верхнего предела имеем , так как , .

Итак, , т.е. получаем соотношение .

ПРИМЕР 6. Часто используется оригинал ,  – действительное или комплексное число, а именно:

, т.е. .

Здесь предполагается, что , т.е. . В частности, изображение функции ,  находится аналогично и определяется соотношением

, .

Заметим, что иногда для краткости записи оригинала множитель   опускается, и оригинал вида   записывается в виде .

Задание

Установить, являются ли оригиналами следующие функции: ; ; , ?

Ответы: нет, нет, нет, да.

Используя формулу (1), найти изображение функции .

Ответ: .

Простейшие свойства преобразования Лапласа

Интегрирование оригинала

Дифференцирование оригинала

Интегрирование изображения

Теорема о сдвиге аргументов оригинала и изображения Теорема о запаздывании оригинала Найти изображение функции, представленной графиком

Изображение периодического сигнала

Если  есть –периодическая функция, то  – периодический оригинал. График его есть график функции, построенный на  и периодически продолженный на . Представим изображение периодического оригинала в виде

.

Пример. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящая под интегралом, неправильная, поэтому из нее надо выделить целую часть. Это можно сделать делением числителя на знаменатель уголком

Отсюда

  и .

Дробь, стоящую в последнем интеграле, разложим на простейшие: ,

Откуда

 и .

Подставляя в первое равенство , получим  или . Из второго равенства получаем систему

,

из которой окончательно находим все коэффициенты: .