Курсовой расчет по математике решение задач

Типовые задачи

Задача 1. Если числовой ряд есть сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то такой ряд сходится (абсолютно) и его сумма находится по формуле

,  , 

(см. пример 1).

Задача 2. Иногда сумму ряда можно вычислить, если удается выражение для   "свернуть" в формулу и перейти к пределу.

ПРИМЕР. Вычислить  – точное значение суммы ряда . Указать такое значение , при котором .

Решение. Общий член ряда  можно представить в виде . Поэтому

, т.е.  и  с погрешностью . По  находим , требуя  или , например .

Итак, точное значение суммы ряда ; для приближенного вычисления суммы  с погрешностью  нужно взять . Примеры вычисления интегралов Метод интегрирования по частям

Задача 3. Изучить поведение числового ряда.

Заметим, что начинать изучение ряда ВСЕГДА рекомендуется с проверки необходимого условия сходимости. Если оно выполнено, то выясняем структуру слагаемых ряда.

Для положительнозначных рядов обычно применяются признак Д'Аламбера (если в записи  встречается "факториал"); признак (радиальный) Коши (если удобно вычислить ); интегральный признак (если интегрирование соответствующей функции негромодко); признаки сравнения (иногда после проверки неравенства , иногда в предельной форме ) и т.д (см. примеры 4, 5).

Для знакочередующегося ряда, как правило, используется ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА; для знакопеременных рядов, в общем виде, – достаточное условие сходимости (через поведение ряда из "абсолютных величин" слагаемых); при этом обязательно следует указать характер сходимости (абсолютно или условно).

Задача 4. Сравнение двух неэквивалентных бесконечно больших (сокр. б/б) последовательностей.

ПРИМЕР. Доказать , т.е. показать, что при  б/б последовательность в знаменателе "существенно быстрее" возрастает, чем б/б последовательность в числителе.

Решение. Рассмотрим ряд  – числовой положительнозначный; удобно применить достаточное условие сходимости 'Аламбера, т.е. вычислим

, поскольку после 4-кратного применения правила Лопиталя в числителе останется постоянная (от  не зависит), а в знаменателе – показательная функция, которая при  даст .

Итак, по признаку Д'Аламбера () ряд сходится, по необходимому условию его общий член стремится к нулю при .

Задача 5. Вычисление суммы числового ряда приближенно  либо с последующей оценкой погрешности , либо проведение счета с заданной заранее погрешностью , т.е. сначала по  находим , а затем .

Оценка погрешности приближенного равенства  проводится различно в зависимости от структуры слагаемых ряда.

1. Если ряд знакочередующийся, то согласно следствию к ТЕОРЕМЕ ЛЕЙБНИЦА имеем .

ПРИМЕР. Ряд  – сходится (условно). Выяснить, сколько нужно взять членов ряда, чтобы знать сумму ряда с погрешностью  (три точных цифры справа от запятой в приближенном значении суммы ряда).

Решение. Поскольку ряд знакочередующийся, то ; потребуем .

Итак, нужно взять около миллиона слагаемых ряда, чтобы  с .

 2. Для положительнозначного ряда рассмотренная оценка погрешности НЕВЕРНА, поскольку  – положительнозначный ряд и его сумма обязательно больше первого слагаемого . Поэтому для оценки погрешности используются иные подходы: (*) подбирается другой "оценочный сверху" числовой ряд, сумма которого каким-либо способом вычисляется.

ПРИМЕР. Для ряда  оценка погрешности приближения  запишется в виде

;

итак,  с погрешностью .

(**) Иногда полезны рассуждения:

.

Если последовательность , т.е.

, то, обозначив , получим

;

  и т.д.

Поэтому если 1)  и 2) , то .

(***) Если ряд удовлетворяет условиям интегрального признака, то из геометрических соображений имеем

.

Задача . Если числовой ряд есть сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то такой ряд сходится (абсолютно) и его сумма находится по формуле ,  , 

Числовые ряды в комплексной области Всякому комплексному числу , где  и  – действительные числа, ставится в соответствие точка  на плоскости. Множество всех комплексных чисел  обозначается через  и соответствует точкам плоскости (говорим о комплексной плоскости). Различные формы записи комплексного числа и правил действий с комплексными числами рассмотрены ранее

Для комплекснозначных последовательностей изучаются свойства: сходимость и ограниченность, а также связь между ними.

Числовые рады в ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть  – произвольная последовательность комплексных чисел . Тогда символ называют числовым рядом в комплексной области (в ).

Теорема достаточный признак сходимости ряда

Пример. Найти интеграл .

Решение. Возьмем  и применим формулу интегрирования по частям. Для этого сначала надо вычислить  и v:  и .

Тогда .

Замечания.

1. При нахождении функции v находят не все первообразные, а только одну из них, поэтому произвольную постоянную С писать не надо; в примере было .

2. Очевидно, основная трудность применения этой формулы состоит в том, чтобы правильно выбрать компоненты интеграла u и dv. Обычно этот метод применяется, когда под знаком интеграла имеется трансцендентная функция, такая как   и т.п. Тогда можно руководствоваться следующим правилом: если производная от трансцендентной функции становится функцией алгебраической (т.е. рациональной или иррациональной дробью), то за u принимается эта функция.