Числовой ряд Типовые задачи Функциональные ряды

Курсовой расчет по математике решение задач

Типовые задачи

Задача 1. Если числовой ряд есть сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то такой ряд сходится (абсолютно) и его сумма находится по формуле

(см. пример 1).

Задача 2. Иногда сумму ряда можно вычислить, если удается выражение для   "свернуть" в формулу и перейти к пределу.

ПРИМЕР. Вычислить  – точное значение суммы ряда . Указать такое значение , при котором .

Решение. Общий член ряда  можно представить в виде . Поэтому

, т.е.  и  с погрешностью . По  находим , требуя  или , например .

Итак, точное значение суммы ряда ; для приближенного вычисления суммы  с погрешностью  нужно взять .

Задача 3. Изучить поведение числового ряда.

Заметим, что начинать изучение ряда ВСЕГДА рекомендуется с проверки необходимого условия сходимости. Если оно выполнено, то выясняем структуру слагаемых ряда.

Для положительнозначных рядов обычно применяются признак Д'Аламбера (если в записи  встречается "факториал"); признак (радиальный) Коши (если удобно вычислить ); интегральный признак (если интегрирование соответствующей функции негромодко); признаки сравнения (иногда после проверки неравенства , иногда в предельной форме ) и т.д (см. примеры 4, 5).

Для знакочередующегося ряда, как правило, используется ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА; для знакопеременных рядов, в общем виде, – достаточное условие сходимости (через поведение ряда из "абсолютных величин" слагаемых); при этом обязательно следует указать характер сходимости (абсолютно или условно).

Задача 4. Сравнение двух неэквивалентных бесконечно больших (сокр. б/б) последовательностей.

ПРИМЕР. Доказать , т.е. показать, что при  б/б последовательность в знаменателе "существенно быстрее" возрастает, чем б/б последовательность в числителе.

Решение. Рассмотрим ряд  – числовой положительнозначный; удобно применить достаточное условие сходимости 'Аламбера, т.е. вычислим

, поскольку после 4-кратного применения правила Лопиталя в числителе останется постоянная (от  не зависит), а в знаменателе – показательная функция, которая при  даст .

Итак, по признаку Д'Аламбера () ряд сходится, по необходимому условию его общий член стремится к нулю при .

Задача 5. Вычисление суммы числового ряда приближенно  либо с последующей оценкой погрешности , либо проведение счета с заданной заранее погрешностью , т.е. сначала по  находим , а затем .

Оценка погрешности приближенного равенства  проводится различно в зависимости от структуры слагаемых ряда.

1. Если ряд знакочередующийся, то согласно следствию к ТЕОРЕМЕ ЛЕЙБНИЦА имеем .

ПРИМЕР. Ряд  – сходится (условно). Выяснить, сколько нужно взять членов ряда, чтобы знать сумму ряда с погрешностью  (три точных цифры справа от запятой в приближенном значении суммы ряда).

Решение. Поскольку ряд знакочередующийся, то ; потребуем .

Итак, нужно взять около миллиона слагаемых ряда, чтобы  с .

 2. Для положительнозначного ряда рассмотренная оценка погрешности НЕВЕРНА, поскольку  – положительнозначный ряд и его сумма обязательно больше первого слагаемого . Поэтому для оценки погрешности используются иные подходы: (*) подбирается другой "оценочный сверху" числовой ряд, сумма которого каким-либо способом вычисляется.

ПРИМЕР. Для ряда  оценка погрешности приближения  запишется в виде

;

итак,  с погрешностью .

(**) Иногда полезны рассуждения:

.

Если последовательность , т.е.

, то, обозначив , получим

;

  и т.д.

Поэтому если 1)  и 2) , то .

(***) Если ряд удовлетворяет условиям интегрального признака, то из геометрических соображений имеем

.

Задача . Если числовой ряд есть сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то такой ряд сходится (абсолютно) и его сумма находится по формуле

Числовые ряды в комплексной области Всякому комплексному числу , где  и  – действительные числа, ставится в соответствие точка  на плоскости. Множество всех комплексных чисел  обозначается через  и соответствует точкам плоскости (говорим о комплексной плоскости). Различные формы записи комплексного числа и правил действий с комплексными числами рассмотрены ранее

Для комплекснозначных последовательностей изучаются свойства: сходимость и ограниченность, а также связь между ними.

Числовые рады в ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть  – произвольная последовательность комплексных чисел . Тогда символ называют числовым рядом в комплексной области (в ).

Теорема достаточный признак сходимости ряда

Пример. Найти интеграл .

Решение. Возьмем  и применим формулу интегрирования по частям. Для этого сначала надо вычислить  и v:  и .

Тогда .

Замечания.

1. При нахождении функции v находят не все первообразные, а только одну из них, поэтому произвольную постоянную С писать не надо; в примере было .

2. Очевидно, основная трудность применения этой формулы состоит в том, чтобы правильно выбрать компоненты интеграла u и dv. Обычно этот метод применяется, когда под знаком интеграла имеется трансцендентная функция, такая как   и т.п. Тогда можно руководствоваться следующим правилом: если производная от трансцендентной функции становится функцией алгебраической (т.е. рациональной или иррациональной дробью), то за u принимается эта функция.


функции комплексной переменной