Контрольная работа по математике Примеры решений

Таблица 1

Основные свойства преобразования Лапласа

Оригинал	Изображение
1	2
,

Окончание табл. 1

1	2
,
,  – период

Таблица 2

ПРОСТЕЙШИЕ ОРИГИНАЛЫ И ИЗОБРАЖЕНИЯ

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
1	2	3	4
,
Окончание табл. 2
1	2	3	4

Здесь приведены наиболее часто встречающиеся в задачах простейшие оригиналы и их изображения. Некоторые из них были получены ранее и выделены в рамках. Остальные рассмотрены ниже в примерах.

ПРИМЕР 20. Найти оригинал для изображения .

Решение. Разложим  на простейшие дроби: . Коэффициенты  и  находим по методу неопределенных коэффициентов: , , следовательно,

.

Итак, имеем соотношение .

Аналогично устанавливаются формулы

,

.

Пример. Найти оригинал для изображения .

Пример. Восстановить оригинал по изображению

Обращение преобразования Лапласа Задача восстановления оригинала по известному изображению в общем случае сводится к необходимости рассмотреть обратное преобразование Лапласа. Вопрос о единственности, достаточные условия существования, формулы для нахождения обратного преобразования Лапласа излагаются подробно, например, в [2]. Укажем основные теоремы этой теории.

Примеры применения операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений

ПРИМЕР. Найти частное решение уравнения ,

Свертка односторонних функций, ее свойства. Теорема Бореля

Пример. Найти оригинал , соответствующий изображению .

Формулы Дюамеля. Применение их к решению дифференциальных уравнений

В задании IV требуется проинтегрировать некоторую тригонометрическую функцию. Рассмотрим основные приемы вычисления подобных интегралов.

1. Интеграл вида , где  - рациональная функция, можно привести к интегралу от рациональной дроби универсальной тригонометрической подстановкой . Используя формулы тригонометрии, получим . Кроме того , откуда .

Применение этой подстановки доказывает, что каждый интеграл  сводится к интегралу от рациональной функции и, следовательно, первообразная функции , стоящей под интегралом, выражается через элементарные функции.