Математика ряды, интегралы, функции

Вычисление интеграла примеры решения задач

Геометрически дифференцируемость функции двух переменных означает существование у её графика касательной плоскости, а дифференциал представляет собой приращение аппликаты касательной плоскости, когда независимые переменные получают приращения dx и dy.

Основные формулы для гиперболических функций

В одном и том же множестве может быть задано несколько алгебраических операций. Желая изучать общие свойства сложения и умножения чисел, мы рассмотрим сначала множества с одной алгебраической операцией. Таким образом, мы приходим к первому из основных понятий современной алгебры, именно к понятию группы.

Определение 2. Непустое множество G называется группой, если в нем определена алгебраическая операция, называемая умножением, которая каждым двум элементам a, b из G ставит в соответствие элемент ab также из G, называемый их произведением, и обладает нижеследующими свойствами:

I. (Закон ассоциативности) a(bc) = (ab)c;

II. (Закон обратимости) Для любых a и b из G уравнения ax = b и ya = b разрешимы в G, т. е. в G существуют элементы c и d такие, что ac = b, da = b. Если групповая операция коммутативна, т. е. ab = ba для любых a, b из G, то группа G называется коммутативной. (коммутативные группы называются также абелевыми)

Приведем несколько примеров групп.

Пример 1. Все целые, все рациональные, все действительные и все комплексные числа являются группами относительно операции сложения чисел, играющего роль групповой операции умножения.

Ни одно из этих множеств не является группой относительно операции умножения чисел, т. к. уравнения 0*x = 1 не имеют решения.

Пример 2. Все рациональные, все действительные и все комплексные числа, исключая число 0, являются группами относительно операции умножения чисел.

Пример 3. Множество G двух элементов e и a с операцией, заданной равенствами ee = aa = e, ea = ae = a, является группой.

Все эти группы коммутативны.

Для коммутативных групп из возможности перестановки сомножителей (2) следует:

(ab)n = anbn.(5)

Мы указали, как равенства (3), (4) и (5) доказываются для натуральных чисел m и n, однако эти равенства остаются верными для любых целых чисел m и n, что можно проверить путем рассмотрения всевозможных случаев .

Из однозначности решений уравнений ax = b и ya = b следует наличие в группе G обеих обратных операций для операции умножения. В случае коммутативной группы G обе эти обратные операции совпадают. В самом деле, если c - решение уравнения ax = b, то ac = b. Значит, ca = b, т. е. c - решение уравнения ya = b.

Определение 5. Операция, обратная для операции умножения в коммутативной группе G, называется делением. Ее результат для элементов a и b, т. е. решение уравнений ax = b и ya = b, называется частным элементов b и a и обозначается через b:a или .

Аддитивная запись. Групповая операция может обозначаться через a + b и называться сложением. Тогда говорят об аддитивной записи группы. В этом случае группа обычно предполагается коммутативной. При аддитивной записи вместо 1 говорят о нуле и вместо обратного элемента a -1 о противоположном элементе - a. Далее, вместо степени an говорят о кратном na (не следует понимать na как произведение n и a, т. к. целое число может и не быть элементом группы G). Итак,

Для аддитивно записанной группы G сумма n элементов обозначается так:

и соответственно изменяется вид равенств (1) - (5).

Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функций одного переменного, для функций двух переменных существование обеих частных производных первого порядка ещё не гарантирует дифференцируемости функции.
Решение неопределенного интеграла