Математика ряды, интегралы, функции

Интегралы примеры решения задач

Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Методы Дифференциальное исчисление применяются для изучения функций нескольких переменных. Для функции двух независимых переменных z = f (х, у) частной производной по х называется производная этой функции по х при постоянном у.

Неопределенные интегралы

В дифференциальном исчислении основной операцией является нахождение производной заданной функции. Сущность здесь заключается в установлении скорости изменения этой функции по сравнению с аргументом. Весьма часто, однако, приходится решать обратную задачу, когда по заданной скорости течения какого-либо процесса требуется восстановить сам этот процесс. В этом случае с математической точки зрения вопрос проводится к отысканию функции по ее производной. Эта операция, называемая интегрированием, является основной во второй половине математического анализа - интегральном исчислении.

Математика Решение типового варианта контрольной работы

Пусть функция f(x), заданная в некотором промежутке* [a, b], во всех его точках является производной функции F(x) , также заданной в [a, b]. Тогда эта последняя функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) (в промежутке [a, b]).

Имеет место

Теорема 1. У всякой непрерывной на промежутке [a, b] функции имеется первообразная.

Доказательство этой теоремы будет дано далее.

Нетрудно видеть, что, если функция F(x) есть первообразная для f(x), то функция F(x) + C при любом постоянном C также является первообразной для f(x). В то же время никаких других первообразных, кроме функций вида F(x) + C, у f(x) уже быть не может. Действительно, если F1(x) есть какая-то первообразная для f(x), то производная разности F1(x) - F(x) будет всюду на [a, b] равняться нулю, а тогда сама разность есть величина постоянная, т. е.

F1(x) - F(x) = CиF1(x) = F(x) + C.

Если F(x) есть первообразная функция для f(x), то функция двух аргументов x и C, равная F(x) + C, называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается символом

Таким образом, неопределенный интеграл какой-нибудь функции представляет собой общий вид первообразных функций для этой функции. Величина C, входящая в определение неопределенного интеграла, называется "произвольной постоянной". Придавая ей то или иное закрепленное значение, можем получить из неопределенного интеграла любую первообразную.

Легко понять, что из самого определения понятия интеграла вытекает следующее утверждение:

Теорема 2. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т. е.

Неевклидова геометрия Лобачевского и абсолютная геометрия. Многие попытки доказательства V постулата проводились по схеме "доказательства от противного", т. е. предполагалось, что V постулат не имеет места, и делался ряд выводов, имеющих место в этом случае.

Множества и отображения

Математическая статистика Эмпирическая функция распределения

Нелинейные дифференциальные уравнения Уравнения с разделенными переменными

Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметраФункции нескольких переменных

Двойной интеграл

Элементы комбинаторики, формула Ньютона

Определенный интегра

Исследование функций при помощи производных составляет основное приложение дифференциального исчисления Кроме того, дифференциальное исчисление позволяет вычислять различного рода пределы функций. Дифференциальное исчисление особенно удобно для исследования элементарных функций, т.к. в этом случае их производные выписываются в явной форме.
Решение неопределенного интеграла