Математика ряды, интегралы, функции

Производные примеры решения задач

Позволяют методами дифференциального исчисления провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, выпуклость и вогнутость, возрастание и убывание функций, их экстремумы, найти их асимптоты, точки перегиба

Ряды с постоянными членами

Рядом называется выражение вида

a1 + a2 + a3 + ...,(1)

в котором a1, a2, a3, ..., an, ... (члены ряда) суть определенные числа, закон построения которых известен.

Иногда ряд (1) записывают в форме

(2)

Самой важной стороной дела при образовании выражения вида (1) является то многоточие, которое поставлено в конце этого выражения. Оно показывает, что множество чисел ak, участвующих в определении ряда (1), обязательно бесконечно. Таким образом, с чисто формальной точки зрения, ряды - это суммы, содержащие бесконечное число слагаемых.

Первый вопрос, возникающий при рассмотрении подобных выражений, заключается в том, имеют ли они какое-либо числовое значение. Оказывается, что приписать разумным образом такое значение удается далеко не всем, а лишь так называемым сходящимся рядам (в более высоких частях теории оказывается возможным и некоторым расходящимся рядам придавать числовое значение).

Пусть дан ряд (1). Образуем последовательность чисел S1, S2, S3, ..., полагая

Sn = a1 + a2 + ... + an(n = 1, 2, 3, ...).

Эти числа называются частичными суммами ряда (1).

Если существует конечный предел

(3)

то говорят, что ряд (1) сходится, а предел (3) называется его суммой. Если же предела (3) не существует или он бесконечен, то ряд (1) называется расходящимся.

Таким образом, сумма ряда - это (конечный) предел последовательности его частичных сумм.

Если ряд (1) имеет сумму S, то пишут

S = a1 + a2 + a3 + ...,

или

Если же ряд расходится, то ему не приписывают никакого числового значения (в более высоких частях теории оказывается возможным и некоторым расходящимся рядам придавать числовое значение).

Теоремы о среднем

Операционное исчисление

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Основным понятием интегрального исчисления является все же не понятие неопределенного интеграла, а понятие интеграла определенного. Оно существенно сложнее и целесообразно предпослать ему некоторые задачи конкретного характера, которые выясняют необходимость введения этого понятия.

Плоские линии

Способы задания плоскости

Абсолютная сходимость

Поверхности Способы аналитического задания

Производные и дифференциалы Определение производной

Векторы

Отвлекаясь от механического или геометрического содержания приведённых задач и выделяя общий для них приём решения, приходят к понятию производной. Производной функции у = f (x) в точке х называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю
Решение неопределенного интеграла