Математика ряды, интегралы, функции

Методы интегрирования примеры решения задач

Около 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий. Основные задачи Ньютон формулировал в терминах механики: 1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости.

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют функцию вида , где   – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае дробь   – неправильная.

Например, дроби    – правильные, а дроби  – неправильные. Гипербола и парабола. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина.

У любой неправильной дроби можно выделить целую часть, для этого следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель.

Например, дробь , т.к .

Тогда

= =

При вычислении использованы формулы 3 и 10 (см. таблицу).

Интегрирование правильных дробей методом разложения на простейшие дроби

Случай 1. Знаменатель правильной дроби имеет только действительные различные корни, то есть разлагается на линейные множители вида '' ''.

Метод интегрирования по частям

Пример. Вычислить интеграл .

Пример Вычислить интеграл

Пример. Вычислить интеграл

Интегрирование тригонометрических функций Пример. Вычислить .

Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её скорость — флюксией. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намечена.
Решение неопределенного интеграла